§3 GPC 控制律

预测分解 · 柔化轨迹 · 阶梯式 GPC · 三个旋钮 · GPC vs PID

水箱液位控制实验 · 参数：p=40, pu=5, β=0.7, λ=2, α=0.9

1. 预测分解

★ 核心

$p$ 步预测写成向量形式：

$$ \mathbf{Y} = \mathbf{Y}^1 + \mathbf{G}\,\Delta\mathbf{U} \tag{3.1}$$

$\mathbf{Y}^1 \in \mathbb{R}^p$：自由响应，由过去 $y$ 历史计算（已知）
$\mathbf{G} \in \mathbb{R}^{p \times p}$：下三角阶跃响应矩阵，$(i,j)$ 元素 $= G_{i+1}[i-j]$（$i \geq j$，否则 0）
$\Delta\mathbf{U} = [\Delta u_t, \ldots, \Delta u_{t+p-1}]^T$：未来控制增量序列（待求）

2. 柔化设定值轨迹

★ 核心

不直接追踪 SP 阶跃，而是用一阶滤波生成缓坡轨迹：

$$ W[0] = \alpha\, y(t) + (1-\alpha)\, SP \tag{3.2}$$ $$ W[j] = \alpha\, W[j-1] + (1-\alpha)\, SP,\quad j=1,\ldots,p-1 \tag{3.3}$$

$\alpha$ 越大，轨迹爬升越慢，超调越小，但响应速度也越慢。

为什么柔化能压超调

超调的根本原因：控制器看到大误差猛推控制量，经过 $k=24$ 步时延后输出才到，此时已冲过目标。
柔化后，控制器追的是一个比 SP 低的中间值 $W[j]$，自然不会冲过头。

3. 目标函数与最优解

★ 核心 $$ J = (\mathbf{Y} - \mathbf{W})^T(\mathbf{Y} - \mathbf{W}) + \lambda\,\Delta\mathbf{U}^T\Delta\mathbf{U} \tag{3.4}$$

代入预测分解，对 $\Delta\mathbf{U}$ 求导令其为零：

$$ \Delta\mathbf{U}^* = (\mathbf{G}_1^T\mathbf{G}_1 + \lambda\mathbf{I})^{-1}\mathbf{G}_1^T(\mathbf{W} - \mathbf{Y}^1) \tag{3.5}$$

其中 $\mathbf{G}_1 \in \mathbb{R}^{p \times p_u}$ 是 $\mathbf{G}$ 的前 $p_u$ 列（控制前景截断）。滚动优化只取第一个元素实施。

4. 阶梯式 GPC

★ 核心

引入阶梯约束 $\Delta u_{t+i} = \beta^i \delta$，将 $p_u$ 维优化压缩为标量 $\delta$：

$$ \mathbf{G}_2 = \mathbf{G}_1 \cdot [1, \beta, \ldots, \beta^{p_u-1}]^T \in \mathbb{R}^p \tag{3.6}$$ $$ \delta = \frac{\mathbf{G}_2^T(\mathbf{W} - \mathbf{Y}^1)}{\mathbf{G}_2^T\mathbf{G}_2 + \lambda\sum_{i=0}^{p_u-1}\beta^{2i}} \tag{3.7}$$

无矩阵求逆，每步只需一次向量内积，适合 C++ 实时实现。

β 的物理含义

$\beta=0$：只有第一步有控制增量（退化为 DMC 单步）
$\beta=0.7$：控制增量指数衰减，第二步为第一步的 70%
$\beta=1$：所有步控制增量相等（斜坡控制）

5. 控制量限幅

○ 工程细节

两级限幅（归一化空间）：

增量限幅：$|\Delta u| \leq 0.1$（对应 ±1.6 mA/步），防止控制冲击
绝对值限幅：$u \in [0, 1]$（对应 4~20 mA），防止超出执行器范围

绝对值限幅后需要回算实际执行的增量：

du_t = clip(du_t, -DU_MAX, DU_MAX)
u_t  = clip(u_prev + du_t, 0.0, 1.0)
du_t = u_t - u_prev   # 实际执行增量（可能被截断）

6. 三个旋钮的作用维度

★ 核心（常见误解）

$\alpha$、$\beta$、$p$ 作用在不同维度，可以同时使用，互不冲突：

参数	作用对象	主要效果	代价
$\alpha$（柔化因子）	参考轨迹 $\mathbf{W}$	压超调、平滑跟踪	响应变慢
$\beta$（阶梯因子）	控制序列 $\Delta\mathbf{U}$	平滑控制动作、无矩阵求逆	控制灵活性降低
$\lambda$（控制权重）	目标函数惩罚项	限制控制幅度	响应变慢
$p$（预测时域）	预测窗口长度	提升稳态精度、抗扰	计算量增加

常见误解

"增大 $p$ 可以压超调"——错误。超调应该用 $\alpha$ 控制，$p$ 控制的是预测覆盖范围。增大 $p$ 反而可能因预测过于保守导致响应变慢。

7. GPC vs PID 对比

○ 实验结果

相同 ARX 模型（na=1）、相同 SP 序列、相同扰动，仿真对比结果：

控制器	RMSE (V)	IAE (V)	u_max (mA)	Δu_max (mA/步)
GPC β=0.7	0.305	271	14.6	1.6
PID (Kp=1.5, Ki=0.02)	0.346	345	14.4	1.6

GPC 的 RMSE 比 PID 低约 12%，IAE 低约 21%。优势来源：GPC 将 $k=24$ 步时延显式纳入预测，PID 只能被动等待反馈。

PID 的优势